已知函數(shù)f(x)=
2x2-3x,x>0
a
ex
,x<0
的圖象上存在兩點關(guān)于y軸對稱,則實數(shù)a的取值范圍是( �。�
A、[-3,1]
B、(-3,1)
C、[-
e
,9e2]
D、[-e-
1
2
,9e-3]
考點:函數(shù)的圖象與圖象變化
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析:若函數(shù)f(x)=
2x2-3x,x>0
a
ex
,x<0
的圖象上存在兩點關(guān)于y軸對稱,則函數(shù)y=
a
ex
,x<0
的圖象關(guān)于y軸對稱變換后,與y=2x2-3x,x>0的圖象有交點.即a=
2x2-3x
ex
有正根,進而利用導數(shù)法求出g(x)=
2x2-3x
ex
的最值,可得答案.
解答: 解:函數(shù)f(x)=
2x2-3x,x>0
a
ex
,x<0
的圖象上存在兩點關(guān)于y軸對稱,
則函數(shù)y=
a
ex
,x<0
的圖象關(guān)于y軸對稱變換后,與y=2x2-3x,x>0的圖象有交點,
即aex=2x2-3x有正根,
即a=
2x2-3x
ex
有正根,
令g(x)=
2x2-3x
ex
,
則g′(x)=
-2x2+7x-3
ex

令g′(x)=0,則x=
1
2
,或x=3,
由0<x<
1
2
或x>3時,g′(x)<0,由
1
2
<x<3或x>3時,g′(x)>0,
可知當x=
1
2
時,g(x)取極小值-e-
1
2
,當x=3時,g(x)取極大值9e-3
又由當x→0或x→+∞時,g(x)→0,
故當x=
1
2
時,g(x)取最小值-e-
1
2
,當x=3時,g(x)取最大值9e-3
即實數(shù)a的取值范圍是[-e-
1
2
,9e-3].
故選:D
點評:本題主要考查分段函數(shù)的應用,方程的根與函數(shù)圖象交點的關(guān)系,導數(shù)法求最值,其中將問題轉(zhuǎn)化為a=
2x2-3x
ex
有正根,是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,有一定的難度.
練習冊系列答案
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比較大�。�1.53
 
1.52,lg3
 
lg5(用“<”或“>”表示).

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B、(-5,1)
C、(3,1)
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求證:當0<x<
π
2
時,sinx<x<tanx.

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