Question

已知集合A＝{(x，y)|y＝－x²＋mx－1}與B＝{(x，y)|x＋y－3＝0，0≤x≤3}，若A∩B為單元素集合，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：A∩B為單元素集合，等價于方程組 　　 消去y，得x2－(m＋1)x＋4＝0，此方程在[0，3]上有一實根或兩相等實根，設(shè)f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，且f(x)的圖象與x軸相切于區(qū)間[0，3]上或與x軸相交，且只能一個交點落在區(qū)間[0，3]上，于是有 綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是

提示：

分析：為使A∩B為單元素集合，則方程組 　　 　　得x2－(m＋1)x＋4＝0． 　　在[0，3]上有一實根或兩相等實根，這樣，將集合問題轉(zhuǎn)化為方程根的討論問題．若利用求根公式解之，則較為繁難，設(shè)f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，則方程x2－(m＋1)x＋4＝0在區(qū)間[0，3]上有兩相等的實根，等價于函數(shù)f(x)＝x2－(m＋1)x＋4的圖象與x軸相切(此時f(x)有一個不變號零點)，且切點落在區(qū)間[0，3]上；方程x2－(m＋1)x＋4＝0在區(qū)間[0，3]上只有一個實根(此時函數(shù)f(x)有一個變號零點)，等價于函數(shù)f(x)＝x2－(m＋1)x＋4的圖象與x軸相交，且只有一個交點落在區(qū)間[0，3]上，這樣，方程根的討論問題就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點的討論問題，從而問題得以解決．