設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點坐標為(an,0).
(Ⅰ)求an的表達式;
(Ⅱ)設(shè)bn=
1-an+n•2n
n
,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
考點:數(shù)列的求和,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)導數(shù)的幾何意義,即可求an的表達式;
(Ⅱ)求出bn=
1-an+n•2n
n
的表達式,利用分組求和和裂項法即可求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
解答: 解:(Ⅰ)∵y=xn+1,
∴y′=(n+1)xn,函數(shù)在點(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,解得an=1-
1
n+1
=
n
n+1

(Ⅱ)bn=
1-an+n•2n
n
=
1
n(n+1)
+2n
=
1
n
-
1
n+1
+2n,
則數(shù)列{bn}的前n項和Sn=(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)+(2+22+…+2n
=1-
1
n+1
+
2•(1-2n)
1-2
=
n
n+1
+2n+1-2
=2n+1-
n+2
n+1
點評:本題主要考查導數(shù)的概念及其幾何意義,考查了數(shù)列的概念和裂項求和及等比數(shù)列求和方法;考查運算求解的能力以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知平面向量
a
=(1,2),
b
=(-2,m),且
a
b
,則
a
-
b
=(  )
A、(-3,-6)
B、(3,-2)
C、(-1,6)
D、(3,6)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

等差數(shù)列{an}中,a4+a5+a6=36,則a1+a9=(  )
A、12B、18C、24D、36

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知動圓M與直線l:x=-
1
2
相切且與圓F:(x-1)2+y2=
1
4
外切.
(1)求圓心M的軌跡C方程;
(2)過定點D(m,0)(m>0)作直線l交軌跡C于A,B兩點,E是D點關(guān)于坐標原點O的對稱點,求證:∠AED=∠BED.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

二階矩陣M有特征值λ=6,其對應的一個特征向量
e
=
1
1
,并且矩陣M對應的變換將點(1,2)變換成點(8,4).
(Ⅰ)求矩陣M;
(Ⅱ)求矩陣M的另一個特征值及對應的一個特征向量.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過點M(
6
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(1,0)作斜率為2直線l與橢圓相交于A,B兩點,求|AB|的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項a1=5,an+1=2an+1,n∈N*
(1)證明:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列;
(2)求{an}的通項公式以及前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某地區(qū)有小學18所,中學12所,大學6所,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生的視力進行調(diào)查
(1)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目;
(2)若從抽取的6所學校中隨機的抽取2所學校做進一步的數(shù)據(jù)分析,
  (i)列出所有可能的抽取結(jié)果;
  (ii)求抽取的2所學校均為小學的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的通項公式an=
1
(n+1)2
(n∈N*),記f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an).
(1)試通過計算f(1),f(2),f(3)的值,推測出f(n)的值;
(2)試用數(shù)學歸納法證明你的推測.

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