已知f（x）=cos2x+
3
sinxcosx+a（a∈R）
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間，
（2）若x∈[0，
π
2
]時(shí)，f（x）的最小值為2，求a的值．
分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為f（x）=sin(2x+
π
6
)+
1
2
+a，利用周期公式求出f（x）的最小正周期．再由
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ   （k∈Z），解得x的范圍，即可得到f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)0≤x≤
π
2
時(shí)，得到-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1，則當(dāng)2x+
π
6
=
7π
6
即x=
π
2
時(shí)，f(x)min=-
1
2
+
1
3
+a=2，即可得到a的值．
解答：解：f（x）=cos2x+
3
sinxcosx+a=
1+cos2x
2
+
3
2
sin2x+a=sin(2x+
π
6
)+
1
2
+a
（1）f（x）最小正周期T=
2π
2
=π，
由
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ   （k∈Z）
得到f（x）遞減區(qū)間：[
π
6
+kπ，
2π
3
+kπ]（k∈Z）
（2）當(dāng)0≤x≤
π
2
時(shí)，
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
當(dāng)2x+
π
6
=
7π
6
即x=
π
2
時(shí)，f(x)min=-
1
2
+
1
3
+a=2
∴a=2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性及其求法，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為析式為f（x）=sin(2x+
π
6
)+
1
2
+a是解題的關(guān)鍵
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知 f（x）=cos（
π
2
-x）+
3
sin（
π
2
+x） （x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并指出此時(shí)x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=cos（2x-φ）（0＜φ＜π）的圖象關(guān)于直線x=
π8
對(duì)稱，則φ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知f（x）=
cosπx，x＜1
f(x-1)-1，x＞1
，求f（
1
3
）+f（
4
3
）的值．
（2）已知角α的終邊過點(diǎn)P（-4m，3m），（m≠0），求2sinα+cosα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
cosπx，x＜1
f(x-1)-1，x＞1
，則f(
1
3
)+f(
7
3
)的值為
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•河?xùn)|區(qū)一模）已知f（x）=cos（x+φ）-sin（x+φ）為偶函數(shù)，則φ可以取的一個(gè)值為（　�。�

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