Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3，AA₁=4，E為AA₁的中點．
（Ⅰ）證明：A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱錐D₁-BDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC，BD，交于點O，連結(jié)EO，由已知條件得A₁C∥OE，由此能證明A₁C∥平面BDE．
（Ⅱ）由VD1-BDE=VB-DED1，利用等積法能求出三棱錐D₁-BDE的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AC，BD，交于點O，連結(jié)EO，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是長方形，
∴O是AC中點，又E是AA₁的中點，
∴A₁C∥OE，
∵OE?平面BDE，A₁C不包含于平面BDE，
∴A₁C∥平面BDE．
（Ⅱ）解：∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB=AD=3，AA₁=4，E為AA₁的中點，
B到平面DED₁的距離h=AB=3，
S△DED1=

1

2

×3×4=6，
∴VD1-BDE=VB-DED1=

1

3

×h×S△DED1
=

1

3

×3×6=6．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．