Question

已知a＞0，b＞0，m＞0，n＞0，求證：a^m+n+b^m+n≥a^mbⁿ+aⁿb^m．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：不等式的解法及應用

分析：直接利用作差法，通過因式分解，然后通過a、b的大小討論，證明不等式即可．

解答： 證明：a^m+n+b^m+n-（a^mbⁿ+aⁿb^m）
=（a^m+n-a^mbⁿ）-（aⁿb^m-b^m+n=a^m（aⁿ-bⁿ）-b^m（aⁿ-bⁿ）=（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）．
當a＞b時，a^m＞b^m，aⁿ＞bⁿ，∴（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）＞0；
當a＜b時，a^m＜b^m，aⁿ＜bⁿ，∴（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）＞0；
當a=b時，a^m=b^m，aⁿ=bⁿ，∴（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）=0．
綜上，（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）≥0，即a^m+n+b^m+n≥a^mbⁿ+aⁿb^m．

點評：本題考查不等式的證明，作差法的應用，考查分類討論思想的應用，是中檔題．