Question

16．在直角坐標系xOy中，直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），以該直角坐標系的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系下，圓C₂的方程為$ρ=-2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$．
（Ⅰ）求直線C₁、圓C₂的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線C₁和圓C₂的交點為A、B，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），消去參數(shù)可得C₁的普通方程．圓C₂的方程為$ρ=-2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，即ρ²=-2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．
（Ⅱ）利用點到直線的距離公式可得：圓心為$（-1，\sqrt{3}）$到直線的距離d，利用|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-6166666^{2}}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），
消去參數(shù)可得：C₁的普通方程為x-y+1=0．
圓C₂的方程為$ρ=-2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，
即ρ²=-2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，
可得直角坐標方程：x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y=0，
配方可得：圓${C_2}：{（x+1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．
（Ⅱ）圓心為$（-1，\sqrt{3}）$到直線的距離d=$\frac{|-1-\sqrt{3}+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-6116166^{2}}$=2$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標與直角坐標方程互化、直線與圓相交弦長公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．