Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{16}+{\frac{y}{4}^2}$=1具有性質(zhì)：若M（2，$\sqrt{3}$），N（-2，-$\sqrt{3}$）是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值-$\frac{1}{4}$．
（1）試對(duì)雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1寫出具有類似特性的性質(zhì)．
（2）對(duì)（1）問(wèn)的結(jié)論加以證明．

Answer 1

分析 （1）直接類比橢圓的性質(zhì)得到雙曲線的性質(zhì)；
（2）設(shè)P（x，y）是雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1上的任意一點(diǎn)，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是雙曲線上的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，把P，M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，得到${y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}$，再求出k_PM、k_PN，求其乘積得答案．

解答 （1）解：類比橢圓可得，雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1具有性質(zhì)：若M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值$\frac{1}{4}$；
（2）證明：設(shè)P（x，y）是雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1上的任意一點(diǎn)，
M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是雙曲線上的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)．
則$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，
∴${y}^{2}=4（\frac{{x}^{2}}{16}-1），{{y}_{0}}^{2}=4（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}-1）$，
則${y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}=4（\frac{{x}^{2}}{16}-1）-4（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}-1）$=$\frac{1}{4}（{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$．
∴k_PM•k_PN=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}•\frac{y+{y}_{0}}{x+{x}_{0}}$=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}（{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{1}{4}$，為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，屬于中檔題．