Question

1．已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D滿足$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，且|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{3}$，那么$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=（　　）

• A． -$\frac{3}{7}$
• B． $\frac{3}{7}$
• C． -$\frac{4}{7}$
• D． $\frac{4}{7}$

Answer 1

分析 畫出圖形，取AC的中點(diǎn)E，并連接BE，根據(jù)條件容易說明點(diǎn)D為線段BE的中點(diǎn)，再由△ABC為等邊三角形便可得出DE⊥AC，$|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{DA}|=\sqrt{3}$，且∠ADC=2∠ADE．可設(shè)△ABC的邊長為a，這樣在Rt△ADE中可求出sin∠ADE，根據(jù)二倍角的余弦公式即可求出cos∠ADC的值，從而由向量數(shù)量積的計(jì)算公式即可求出$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}$的值．

解答 解：如圖，取AC中點(diǎn)E，連接BE，由$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$得：
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AD}$；
∴點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)；
∵△ABC為等邊三角形，E為AC中點(diǎn)；
∴DE⊥AC；
∴$|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{DA}|=\sqrt{3}$，∠ADC=2∠ADE；
設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，則$DE=\frac{\sqrt{3}}{4}a，AE=\frac{a}{2}$；
∴在Rt△ADE中，$AD=\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}a$，∴$sin∠ADE=\frac{AE}{AD}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{4}a}=\frac{2}{\sqrt{7}}$；
∴$cos∠ADC=1-2si{n}^{2}∠ADE=-\frac{1}{7}$；
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}=|\overrightarrow{DA}||\overrightarrow{DC}|cos∠ADC$
=$\sqrt{3}×\sqrt{3}×（-\frac{1}{7}）$
=$-\frac{3}{7}$．
故選：A．

點(diǎn)評 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，等邊三角形的中線也是邊的中垂線，線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩段的距離相等，直角三角形邊的關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義，二倍角的余弦公式，向量數(shù)量積的計(jì)算公式．