Question

在△ABC中．
（1）求證：tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

=1；
（2）求證：tan2

A

2

+tan2

B

2

+tan2

C

2

≥1．問什么情況下取等號(hào)．

Answer 1

分析：（1）提取公因式由兩角和的正切公式變式進(jìn)行證明，兩角和的正切公式有二個(gè)變式，應(yīng)合理選擇．
（2）先切化弦再利用基本不等式求最值．

解答：解：（I）左邊=tan

B

2

（tan

A

2

+tan

C

2

）+tan

A

2

tan

C

2

=tan

B

2

tan（

A

2

+

C

2

）（1-tan

A

2

tan

C

2

）+tan

A

2

tan

C

2

∵在△ABC中，

B

2

+

A

2

+

C

2

=90⁰
∴tan

B

2

tan（

A

2

+

C

2

）=1
∴左邊=1-tan

A

2

tan

C

2

+tan

A

2

tan

C

2

=1
∴左邊=右邊，等式得證
tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

=1；
（II）∵tan²

A

2

=

sin 2  A 2

cos 2 A 2

=

1-cos 2 A 2

cos 2 A 2

=

1

cos 2 A 2

-1
∴tan²

A

2

+tan²

B

2

+tan²

C

2

=

1

cos 2 A 2

+

1

cos 2 B 2

+

1

cos 2 C 2

-3≥3（

1

cos 2 A 2

×

1

cos 2 B 2

×

1

cos 2 C 2

） 

1

3

-3
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

1

cos 2 A 2

=

1

cos 2 B 2

=

1

cos 2 C 2

時(shí)即A=B=C=60°時(shí)成立
此時(shí)tan²

A

2

+tan²

B

2

+tan²

C

2

≥3[(

4

3

) 3] 

1

3

-3=4-3=1
故tan2

A

2

+tan2

B

2

+tan2

C

2

≥1．等號(hào)當(dāng)A=B=C=60°時(shí)成立

點(diǎn)評(píng)：考查兩角和的正切公式的變形及基本不等式