Question

甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行羽毛球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為0.5，且各局勝負相互獨立．
（1）求打滿3局比賽還未停止的概率；
（2）理科：求比賽停止時已打局數ξ的分布列與期望Eξ．
     文科：求比賽停止時已打局數不少于5次的概率．

Answer 1

分析：（1）打滿3局比賽還未停止即在三局比賽中沒有人連勝兩局，分析其可能情況，每局比賽的結果相互獨立且互斥，利用獨立事件、互斥事件的概率求解即可．
（2）理科：ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，分別根據相互獨立事件的概率乘法公式求出ξ取每一個值的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式進行求解．
文科：記比賽停止時已打5局為事件M，比賽停止時已打6局為事件N，求出P（M）與P（N）的值，最后根據互斥事件的概率加法公式進行求解．

解答：解：令A_k，B_k，C_k分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．
（1）由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為
P(A1C2B3)+P(B1C2A3)=

1

23

+

1

23

=

1

4

．
【理科】（2）ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，且P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=

1

22

+

1

22

=

1

2

，
P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=

1

23

+

1

23

=

1

4

．
P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)=

1

24

+

1

24

=

1

8

．
P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，
P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，
故有分布列

ξ	2	3	4	5	6
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

從而Eξ=2×

1

2

+3×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

16

+6×

1

16

=

47

16

（局）．（10分）
【文科】記比賽停止時已打5局為事件M，比賽停止時已打6局為事件N，那么有
P（M）=P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，（8分）
P（N）=P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，…（10分）
所以，比賽停止時已打局數不少于5次的概率為

1

8

…（12分）

點評：本題注意考查了互斥、獨立事件的概率，離散型隨機變量的分布列和期望等知識，同時考查利用概率知識解決問題的能力，屬于中檔題．