Question

已知等差數(shù)列{a_n}，S_n為其前n項和，a₅=9，S₅=25；數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an•an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，
（Ⅰ）求：a_n和T_n；
（Ⅱ）若對任意的n∈N⁺，不等式λTn＜n+8(-1)n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}中，由a₅=9，S₅=25，利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式能求出a_n=2n-1．由此能求出b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項求和法能求出T_n．
（Ⅱ）①當n為偶數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立；②當n為奇數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．由此能求了λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}中，∵a₅=9，S₅=25，
∴

a1+4d=9 5a1+ 5×4 2 d=25

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
∵bn=

1

an•an+1

，
∴b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（Ⅱ）①當n為偶數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立，
∵2n+

8

n

≥8，等號在n=2時取得．
∴此時λ而滿足λ＜25．
②當n為奇數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

是隨n的增大而增大，∴n=1時取得最小值-6，
此時λ需滿足λ＜-21．
綜合①②得λ＜-21，
∴λ的取值范圍是{λ|λ＜-21}．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．
[a₅=5，S₅=25，改為：a₃=5，S₅=25；]