4．若實數(shù)a滿足x+lgx=2，實數(shù)b滿足x+10x=2，函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{ln（x+1）+\frac{a+b}{2}，x≤0}\\{{x^2}-2，x＞0}\end{array}}$，則關于x的方程f（x）=x解的個數(shù)為（　�。�
A．1B．2C．3D．4

分析 先根據(jù)a滿足x+lgx=2，b滿足x+10x=2，可得a+b=2，進而可分類求出關于x的方程f（x）=x的解，從而確定關于x的方程f（x）=x的解的個數(shù)．

解答 解：由a滿足x+lgx=2，b滿足x+10x=2，
則4-x=lgx，2-x=10x，
設f（x）=2-x，g（x）=lgx，h（x）=10x，
則g（x）與h（x）互為反函數(shù)，圖象關于y=x對稱，
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=2-x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即（a，g（a）），（b，h（b））關于點（1，1）對稱，
則$\frac{a+b}{2}$=2，即a+b=2，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1）+1，}&{x≤0}\\{{x}^{2}-2，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）和y=x的圖象，由圖象知兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，
即方程f（x）=x解的個數(shù)為2個，
故選：B

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點的關系，利用反函數(shù)的性質(zhì)求出a+b=2，以及作出對應函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．已知曲線C1：（x-3）2+（y-2）2=1，曲線C2：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C3：ρ（cosθ-2sinθ）=7．
（1）以t為參數(shù)將C1的方程寫成含t的參數(shù)方程，化C2的方程為普通方程，化C3的方程為直角坐標方程；
（2）若Q為C2上的動點，求點Q到曲線C3的距離的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．已知函數(shù)f（x）=ax4•lnx+bx4-c在x=1處取得極值-3-c．
（1）試求實數(shù)a，b的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意x＞0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．設函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax2-（a+1）x+lnx，a∈R．
（1）若0＜a＜1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=0，且f（x1）=f（x2），x1＞x2，求證：x1•x2＜1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{|x|}$，關于x的方程f2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3個相異的實數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�
A．（$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，+∞）B．（-∞，$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$）C．（0，$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$）D．{$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的線段長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．設函數(shù)f（x）=ex-e2x，則f（x）的最小值為-e2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)f（x）=ax3+x2-ax（a∈R且a≠0）．
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}，-∞$）上是增函數(shù)，在（-1，$\frac{1}{3}$）上是減函數(shù)，求a的值；
（2）討論函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}-\frac{3}{a}$lnx的單調(diào)遞減區(qū)間．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案