Question

5．已知曲線C的方程為F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若對于任意的（x₁，y₁）∈T，都存在（x₂，y₂）∈T，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱曲線C為$\sum_{\;}^{\;}$曲線，下列方程所表示的曲線中，是$\sum_{\;}^{\;}$曲線的有①③⑤（寫出所有$\sum_{\;}^{\;}$曲線的序號）
①2x²+y²=1；②x²-y²=1；③y²=2x；④|x|-|y|=1；⑤（2x-y+1）（|x-1|+|y-2|）=0．

Answer 1

分析 由$\sum_{\;}^{\;}$曲線的定義可知，具備$\sum_{\;}^{\;}$曲線的條件是對于任意的P₁（x₁，y₁）∈T，都存在P₂（x₂，y₂）∈T，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．然后逐個驗證即可得到答案．

解答 解：對于任意P₁（x₁，y₁）∈T，存在P₂（x₂，y₂）∈T，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．
對于①2x²+y²=1，∵2x²+y²=1的圖象關(guān)于原點中心對稱，
∴對于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故2x²+y²=1為$\sum_{\;}^{\;}$曲線；
對于②x²-y²=1，當(dāng)P₁（x₁，y₁）為雙曲線的頂點時，雙曲線上不存在點P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故x²-y²=1不是$\sum_{\;}^{\;}$曲線；
對于③y²=2x，其圖象關(guān)于y軸對稱，OP₁的垂線一定與拋物線相交，故y²=2x為$\sum_{\;}^{\;}$曲線；
對于④，當(dāng)P₁（x₁，y₁）為（1，0）時，曲線上不存在點P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故④不是$\sum_{\;}^{\;}$曲線；
對于⑤，由（2x-y+1）（|x-1|+|y-2|）=0可得2x-y+1=0或點（1，2），
∴對于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故（2x-y+1）（|x-1|+|y-2|）=0為$\sum_{\;}^{\;}$曲線．
故答案為：①③⑤．

點評 本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是對新定義的理解，是中檔題．