Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n+1-2S_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=n+$\frac{n}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得S_n+1+1=2（S_n+1），即有數(shù)列{S_n+1}是以S₁+1=2，2為公比的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的遞推式，可得所求通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=n+$\frac{n}{{a}_{n}}$=n+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=1，S_n+1-2S_n=1，
即為S_n+1+1=2（S_n+1），
即有數(shù)列{S_n+1}是以S₁+1=2，2為公比的等比數(shù)列，
則S_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即S_n=2ⁿ-1，n∈N*，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1，
上式對n=1也成立，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1，n∈N*；
（2）b_n=n+$\frac{n}{{a}_{n}}$=n+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
前n項(xiàng)和T_n=（1+2+3+…+n）+[1•1+2•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1]，
設(shè)M_n=1•1+2•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$M_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
相減可得，$\frac{1}{2}$M_n=1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡可得M_n=4-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則T_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）+4-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列法，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．