Question

【題目】中國農(nóng)業(yè)銀行開始為全國農(nóng)行ATM機安裝刷臉取款系統(tǒng).某農(nóng)行營業(yè)點為調(diào)查居民對刷臉取款知識的了解情況,制作了刷臉取款知識有獎?wù){(diào)查問卷,發(fā)放給2018年度該行的所有客戶,并從參與調(diào)查且年齡(單位:歲)在[25,55]內(nèi)的客戶中隨機抽取100名給予物質(zhì)獎勵,再從中選出一名客戶參加幸運大抽獎.調(diào)查結(jié)果按年齡分成6組,制作成如下的頻數(shù)分布表和女客戶的年齡莖葉圖,其中a∶b∶c=2∶4∶5.

年齡/歲	[25,30)	[30,35)	[35,40)	[40,45)	[45,50)	[50,55]
頻數(shù)/人	5	a	b	c	15	25

女客戶的年齡莖葉圖

幸運大抽獎方案如下:客戶最多有兩次抽獎機會,每次抽獎的中獎率均為,第一次抽獎,若未中獎,則抽獎結(jié)束.若中獎,則通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎.規(guī)定:拋出的硬幣,若反面朝上,則客戶獲得5000元獎金,不進行第二次抽獎;若正面朝上,客戶需進行第二次抽獎,且在第二次抽獎中,如果中獎,則獲得獎金10000元,如果未中獎,則所獲得的獎金為0元.

(1)求a,b,c的值,若分別從男、女客戶中隨機選取1人,求這2人的年齡均在[40,45)內(nèi)的概率;

(2)若參加幸運大抽獎的客戶所獲獎金(單位:元)用X表示,求X的分布列與數(shù)學期望E(X).

Answer 1

【答案】（1），概率為；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)解方程組，求得的值.先根據(jù)莖葉圖求得每組內(nèi)女客戶的人數(shù)，進而求得每組男客戶的人數(shù)，然后根據(jù)相互獨立事件概率計算公式，求得所求的概率.（2）先求得所有可能取值為.然后根據(jù)分類和分步計算原理求得對應(yīng)的概率，由此求得分布列和數(shù)學期望.

(1)由頻數(shù)分布表知,a+b+c=100-45=55.

因為a∶b∶c=2∶4∶5,

所以a=×55=10,b=×55=20,c=×55=25,由莖葉圖可知年齡在[25,30)內(nèi)的女客戶有2人,年齡在[30,35)內(nèi)的女客戶有4人,年齡在[35,40)內(nèi)的女客戶有8人,年齡在[40,45)內(nèi)的女客戶有10人,年齡在[45,50)內(nèi)的女客戶有6人,年齡在[50,55]內(nèi)的女客戶有10人,

故年齡在[40,45)內(nèi)的男客戶有15人,在100名客戶中,男客戶有60人,女客戶有40人,所以從男客戶中隨機選取1人,年齡恰在[40,45)內(nèi)的概率P1=,

從女客戶中隨機選取1人,年齡恰在[40,45)內(nèi)的概率P2=,

則分別從男、女客戶中隨機選取1人,這2人的年齡均在[40,45)內(nèi)的概率P=P1×P2=.

(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,5000,10000,則

P(X=0)=,

P(X=5000)=,

P(X=10000)=.

X的分布列為

X	0	5 000	10 000
P

E(X)=0×+5000×+10000×=5200(元).