Question

    已知：正三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，AA₁=AB=a,D為CC₁的中點，F是A₁B的中點，A₁D與AC的延長線交于點M，

    (Ⅰ)求證：DF∥平面ABC；

    (Ⅱ)求證：AF⊥BD；

    (Ⅲ)求平面A₁BD與平面ABC所成的較小二面角的大小.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(Ⅰ)證明：取AB中點E，連EF、CE，     ∵F為AB中點，     ∴EF∥AA1∥CC1，且.     ∵D為CC1中點，∴.     又AA1∥CC1,∴EF∥CD且EF=CD，     ∴四邊形EFDC為平行四邊形，     ∴DF∥CE.     ∵DF面ABC，∴DF∥面ABC.     (Ⅱ)證明：∵A1A=AB，F為A1B中點，     ∴AF⊥A1B.     ∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥CE.     又DF∥CE，∴DF⊥AA1.     ∵A1ACC1，B1BCC1為正方形，D為CC1中點,     ∴A1D=BD，∴DF⊥A1B.     ∴DF⊥面AA1B，∴DF⊥AF.     ∴AF⊥面A1BD，∴AF⊥BD.     (Ⅲ)解：∵CD∥AA1，     ∴，D為A1M中點，     又F為A1B中點，     ∴DF∥BM.由(Ⅱ)知DF⊥面AA1B，     ∴BM⊥面AA1B，∴BM⊥A1B，BM⊥AB.     ∴∠A1BA為平面A1BM與面ABC所成二面角的平面角.     即∠A1BA為平面A1BD與平面ABC所成的二面角的平面角.     ∵A1ABB1為正方形，     ∴∠A1BA=45°即為所求二面角大小.