Question

1．設(shè)各項為正的數(shù)列{a_n}滿足a₁=2017，log₂a_n=1+log₂a_n+1（n∈N+），記A_n=a₁a₂…a_n，則A_n的值最大時，n=（　　）

• A． 10
• B． 11
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 log₂a_n=1+log₂a_n+1（n∈N+），可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，a_n=2017×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．于是A_n=a₁a₂…a_n=2071ⁿ×${2}^{-\frac{n（n-1）}{2}}$．作商可得$\frac{{A}_{n+1}}{{A}_{n}}$=2017×2^-n，利用其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵log₂a_n=1+log₂a_n+1（n∈N+），
∴a_n=2a_n+1，即a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
∴a_n=2017×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴A_n=a₁a₂…a_n=2017ⁿ×$（\frac{1}{2}）^{1+2+…+（n-1）}$=2071ⁿ×${2}^{-\frac{n（n-1）}{2}}$．
$\frac{{A}_{n+1}}{{A}_{n}}$=2017×2^-n，可得n≤10時，$\frac{{A}_{n+1}}{{A}_{n}}$＞1，數(shù)列{A_n}單調(diào)遞增；n≡11時，$\frac{{A}_{n+1}}{{A}_{n}}$＜1．?dāng)?shù)列{A_n}單調(diào)遞減．
則A_n的值最大時，n=11．
故選：B．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)、分類討論方法、對數(shù)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．