Question

如果cos²θ+2msinθ-2m-2＜0對任意的θ總成立，求常數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

解:設(shè)f(θ)=cos²θ+2msinθ-2m-2,要使f(θ)＜0對任意的θ總成立，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y=f(θ)的最大值小于零.

f(θ)=cos²θ+2msinθ-2m-2

=1-sin²θ+2msinθ-2m-2

=-(sinθ-m)²+m²-2m-1.

∴當(dāng)-1≤m≤1時,函數(shù)的最大值為m²-2m-1＜0,解得1-＜m≤1;

當(dāng)m＞1時,函數(shù)的最大值為f()=-2＜0,∴m≥1時均成立;

當(dāng)m＜-1時,函數(shù)的最大值為f(-)=-4m-2＜0,m＞-,矛盾,無解.

綜上得,m的取值范圍是m∈［1-,+∞).