Question

過點（1，2）的直線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積最小時，直線l的方程是

 

．

Answer 1

分析：可設出直線的斜率為k，根據題意可知k＜0，又過（1，2）得到直線方程為y-2=k（x-1），則分別令y=0和x=0求出A和B兩點坐標，然后表示出面積的關系式，求出面積最小時k的值，然后代入得到直線l的方程即可．

解答：解：設直線的斜率為k，且由直線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點得到k＜0，
所以直線l的方程為：y-2=k（x-1）即kx-y+2-k=0，令x=0，得到y(tǒng)=2-k，所以B（0，2-k）；令y=0，得到x=1-

2

k

，所以A（1-

2

k

，0）
由k＜0，則三角形AOB的面積為S=

1

2

（2-k）（1-

2

k

）=

1

2

（4-

4

k

-k）≥

1

2

[4+2

(- 4 k )•(-k)

]=4，
當且僅當-

4

k

=-k即k=±2，因為k＜0，所以k=-2，
所以直線方程為2x+y-4=0
故答案為2x+y-4=0

點評：考查學生會求直線與x軸、y軸的截距，會利用基本不等式求面積的最小值，會寫出直線的一般式方程．