Question

8．在遞減等差數(shù)列{a_n}中，a₁a₃=${a}_{2}^{2}$-4，若a₁=13，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和的最大值為（　　）

• A． $\frac{24}{143}$
• B． $\frac{1}{143}$
• C． $\frac{24}{13}$
• D． $\frac{6}{13}$

Answer 1

分析 設(shè)公差為d，則d＜0，根據(jù)題意求出d，得到數(shù)列的通項公式，再求出第7項大于0，第8項小于0，再根據(jù)裂項求和，即可求出答案．

解答 解：設(shè)公差為d，則d＜0，
∵a₁a₃=${a}_{2}^{2}$-4，a₁=13，
∴13（13+2d）=（13+d）²-4，
解得d=-2或d=2（舍去），
∴a_n=a₁+（n-1）d=13-2（n-1）=15-2n，
當(dāng)a_n=15-2n≥0時，即n≤7.5，
當(dāng)a_n+1=13-2n≤0時，即n≥6.5，
∴當(dāng)n≤7是，a_n＞0
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（15-2n）（13-2n）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-15}$-$\frac{1}{2n-13}$）
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{-13}$-$\frac{1}{-11}$+$\frac{1}{-11}$-$\frac{1}{-9}$+…+$\frac{1}{2n-15}$-$\frac{1}{2n-13}$）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{2n-13}$），
當(dāng)n=6時，最大，最大值為$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{13}$+1）=$\frac{6}{13}$
故選：D

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系和裂項求和，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題