14.給出下列例題:
①若奇函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)任意x都有f(x)=f(2-x),則函數(shù)f(x)為周期函數(shù);
②函數(shù)f(x)=(x-3)e-x的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞);
③若函數(shù)f(x)=f'($\frac{π}{4}$)cosx+sinx,則f($\frac{π}{4}$)的值為1;
④函數(shù)f(x)=2|x||log0.5x|-1的零點的個數(shù)為2,
其中真命題是①③④(將你認為真命題的序號都填上)

分析 ①由函數(shù)奇偶性,周期性,對稱性之間的關(guān)系,可知①正確;
②求導數(shù),利用導數(shù)大于0,即可判斷;
③求出f′($\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$-1,可得f($\frac{π}{4}$)的值;
④函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù),即方程2x|log0.5x|-1=0根個數(shù),即方程|log0.5x|=($\frac{1}{2}$)x根個數(shù),即函數(shù)y=|log0.5x|與y=($\frac{1}{2}$)x圖象交點的個數(shù),畫出函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合,可得答案.

解答 解:對于①,如函數(shù)對定義域內(nèi)任意x都有f(x)=f(2-x),則是對稱軸為1的函數(shù),又為奇函數(shù),所以是周期函數(shù),且周期為4.所以正確.
對于②,f′(x)=(4-x)e-x>0,∴x<4,∴函數(shù)f(x)=(x-3)e-x的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,4),不正確;
③若函數(shù)f(x)=f'($\frac{π}{4}$)cosx+sinx,則f′(x)=-f'($\frac{π}{4}$)sinx+cosx,所以f′($\frac{π}{4}$)=-f'($\frac{π}{4}$)sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$,所以f′($\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$-1,所以f($\frac{π}{4}$)的值為1,正確;
④函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù),
即方程2x|log0.5x|-1=0根個數(shù),
即方程|log0.5x|=($\frac{1}{2}$)x根個數(shù),
即函數(shù)y=|log0.5x|與y=($\frac{1}{2}$)x圖象交點的個數(shù),
在同一坐標系中畫出函數(shù)y=|log0.5x|與y=($\frac{1}{2}$)x圖象,如下圖所示:

由圖可得:函數(shù)y=|log0.5x|與y=($\frac{1}{2}$)x圖象有2個交點,
故函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點有2個,正確.
故答案為:①③④.

點評 本題考查了命題真假的判斷,考查學生分析解決問題的能力,綜合性強,須認真審題.

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