Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求通項公式a_n；
（Ⅲ）設(shè)b_n=

an

S 2 n

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2，知S_n+1+1=3（S_n+1），由此能夠證明{S_n+1}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由S_n=3ⁿ-1，得到S_n-1=3^n-1-1，由此能求出a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=

2

3

×3n．
（Ⅲ）b_n=

an

S 2 n

=

2 3 ×3n

(3n-1)2

，由此入手，能夠證明b₁+b₂+…+b_n＜1．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n+1+1=3（S_n+1）
∵S₁+1=2+1=3
∴{S_n+1}是首項為3公比為3的等比數(shù)列．
（Ⅱ）∵{S_n+1}是首項為3公比為3的等比數(shù)列．
∴S_n+1=3×3^n-1=3ⁿ，
∴S_n=3ⁿ-1，
S_n-1=3^n-1-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=

2

3

×3n．
（Ⅲ）證明：∵S_n=3ⁿ-1，an=

2

3

×3n，
∴b_n=

an

S 2 n

=

2 3 ×3n

(3n-1)2

=

2 3 ×3n

32n-2×3n+1

＜

2 3

3n-2

=

2

3

×

1

3n-2

，
設(shè)cn=

2

3

×

1

3 n-2

，
b₁+b₂+…+b_n＜c₁+c₂+c₃+…+c_n
=

2

3

(

1

3-2

+ 

1

9-2

+

1

27-2

+…+

1

3 n-2

)
＜

2

3

（1+

1

3

+

1

9

+…+

1

3 n-1

）
=

2

3

×

1×(1- 1 3 n )

1- 1 3

=1-

1

3 n

＜1．
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，綜合題強，難度大，計算繁瑣，易出錯．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意放縮法的合理運用．