Question

一個(gè)圓切直線(xiàn)l₁：x-6y-10=0于點(diǎn)P（4，-1），且圓心在直線(xiàn)l₂：5x-3y=0上，求該圓的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出圓心的坐標(biāo)，求出過(guò)點(diǎn)P和直線(xiàn)l₁垂直的直線(xiàn)方程，利用圓心在過(guò)點(diǎn)P和直線(xiàn)l₁垂直的直線(xiàn)上，又在直線(xiàn)l₂上，求出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑r=PM，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：過(guò)點(diǎn)P（4，-1）且與直線(xiàn)l₁：x-6y-10=0垂直的直線(xiàn)的方程設(shè)為 6x+y+C=0，
點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得C=-23，即6x+y-23=0．
設(shè)所求圓的圓心為為M（a，b），由于所求圓切直線(xiàn)l₁：x-6y-10=0于點(diǎn)P（4，-1），
則滿(mǎn)足6a+b-23=0①；又由題設(shè)圓心M在直線(xiàn)l₂：5x-3y=0上，
則5a-3b=0②．
聯(lián)立①②解得a=3，b=5．即圓心M（3，5），因此半徑r=PM=

(4-3)2+(-1-5)2

=

37

，
所求圓的方程為（x-3）²+（y-5）²=37．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用垂直關(guān)系，待定系數(shù)法求直線(xiàn)的方程，以及求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，待定系數(shù)法是一種重要方法．