Question

已知向量a=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，b=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]，f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|（λ為常數(shù)），
求：（1）

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f（x）的最小值是-

3

2

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)，寫出兩個(gè)向量的數(shù)量積，寫出數(shù)量積的表示式，利用三角函數(shù)變換，把數(shù)量積整理成最簡(jiǎn)形式，再求兩個(gè)向量和的模長(zhǎng)，根據(jù)角的范圍，寫出兩個(gè)向量的模長(zhǎng)．
（2）根據(jù)第一問做出的結(jié)果，寫出函數(shù)的表達(dá)式，式子中帶有字母系數(shù)λ，把式子整理成關(guān)于cosx的二次函數(shù)形式，結(jié)合λ的取值范圍，寫出函數(shù)式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合題意的舍去．

解答：解：（1）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2

cos2x

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴cosx≥0，
∴|

a

+

b

|=2cosx．

（2）f（x）=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴0≤cosx≤1，
①當(dāng)λ＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時(shí)，f（x）取得最小值-1，這與已知矛盾；
②當(dāng)0≤λ≤1，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=λ時(shí)，f（x）取得最小值-1-2λ²，
由已知得-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

；
③當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，這與λ＞1相矛盾、
綜上所述，λ=

1

2

為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)，考查三角函數(shù)變換，考查二次函數(shù)的最值，考查分類討論思想，是一個(gè)綜合題，題目涉及的內(nèi)容比較多，易錯(cuò)點(diǎn)是帶有字母系數(shù)的二次函數(shù)最值問題．