Question

已知等差數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8．
（Ⅰ）求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a₂，a₃，a₁成等比數(shù)列，求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求公差和首項(xiàng)，由此能求出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和a₂，a₃，a₁分別為-1，2，-4，成等比數(shù)列，知|a_n|=|3n-7|=

-3n+7，n=1，2 3n-7，n≥3

，由此能求出數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為S_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，
∵等差數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8，
∴

3a1+3d=-3 a1(a1+d+(a1+2d)=8

，
解得

a1=2 d=-3

，或

a1=-4 d=3

，
所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式，得
a_n=2-3（n-1）=-3n+5，或a_n=-4+3（n-1）=3n-7．
故a_n=-3n+5，或a_n=3n-7．
（Ⅱ）當(dāng)a_n=-3n+5時(shí)，a₂，a₃，a₁分別為-1，-4，2，不成等比數(shù)列；
當(dāng)a_n=3n-7時(shí)，a₂，a₃，a₁分別為-1，2，-4，成等比數(shù)列，滿足條件．
故|a_n|=|3n-7|=

-3n+7，n=1，2 3n-7，n≥3

，
記數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為S_n．
當(dāng)n=1時(shí)S₁=|a₁|=4；當(dāng)n=2時(shí)，S₂=|a₁|+|a₂|=5；
當(dāng)n≥3時(shí)，
S_n=S₂+|a₃|+|a₄|+…+|a_n|
=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=5+

(n-2)[2+(3n-7)]

2

=

3

2

n2-

11

2

n+10．
當(dāng)n=2時(shí)，滿足此式．
綜上所述，Sn=

4，n=1 3 2 n2- 11 2 n+10，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．易錯(cuò)點(diǎn)是求等差數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)容易丟解．