18.已知a∈R,函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.
(1)若a=4,求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在x=3處取得極值,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),得到關(guān)于a的方程,解出a,求出f(x)的解析式,從而求出切線方程即可.

解答 解:(1)a=4時(shí),f(x)=2x3-15x2+24x,
f′(x)=6x2-30x+24=6(x2-5x+4)(x-4)(x-1),
令f′(x)>0,解得:x>1或x<4,
令f′(x)<0,解得:1<x<4,
故f(x)在(-∞,1)遞增,在(1,4)遞減,在(4,+∞)遞增;
(2)∵f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,
∴f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a,
∵3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),
∴f′(3)=0,即6×32-6(a+1)×3+6a=0,
解得:a=3,
∴f(x)=2x3-12x2+18x,
f′(x)=6x2-24x+18,
則f(0)=0,f′(0)=18,
∴y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程是:y=18x;

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的意義以及分類(lèi)討論思想,是一道中檔題.

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8.平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,且點(diǎn)$(\sqrt{3},\frac{1}{2})$在橢圓C上.橢圓C的左頂點(diǎn)為A.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)A作直線l與橢圓C交于另一點(diǎn)B.若直線l交y軸于點(diǎn)C,且OC=BC,求直線l的斜率.

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9.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.$\overrightarrow m=(\sqrt{3}a{,_{\;}}b)$,$\overrightarrow n=(cosB,sinA)$
(Ⅰ)若$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}$c,求角A;
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6.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F(c,0),A(0,2),且|AF|=$\sqrt{7}$,橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
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(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,當(dāng)直線l與橢圓C有唯一公共點(diǎn)M時(shí),作OH⊥l于H(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若|MH|=$\frac{3}{5}$|OM|,求k的值.

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13.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-4|.
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3.一盒中放有的黑球和白球,其中黑球4個(gè),白球5個(gè).
(Ⅰ)從盒中同時(shí)摸出兩個(gè)球,求兩球顏色恰好相同的概率.
(Ⅱ)從盒中摸出一個(gè)球,放回后再摸出一個(gè)球,求兩球顏色恰好不同的概率.
(Ⅲ)從盒中不放回的每次摸一球,若取到白球則停止摸球,求取到第三次時(shí)停止摸球的概率.

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A.an=$\sqrt{4n+1}$B.an=$\sqrt{4n-1}$C.an=$\sqrt{2n+1}$D.an=$\sqrt{2n+3}$

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