Question

在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=，SB=2．
（1）求三棱錐S-ABC的體積；
（2）證明：BC⊥SC；
（3）求異面直線(xiàn)SB和AC所成角的余弦值．

Answer 1

解：（1）∵∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，∴SA⊥面BAC，即SA即是棱錐的高，
又AC=1，BC=，SB=2，=∠ACB=90°
∴AB=2，SA=2
∴三角形BAC的面積為=，三棱錐S-ABC的體積為=
（2）由（1）知SA⊥面BAC可得SA⊥BC
又=∠ACB=90°，可得BC⊥AC，又SA∩AC=A
∴BC⊥面SCA
∴BC⊥SC
（3）分別取AB、SA、BC的中點(diǎn)D、E、F，連接ED、DF、EF、AF，由于ED∥SB，DF∥AC，故∠EDF（或其鄰補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)SB和AC所成的角
由上證知DE=SB=，DF=AC=，AE=，在直角三角形ACF中可求得AF=
在直角三角形EAF中可求得EF=
在三角形DEF中由余弦定理得∠EDF余弦的絕對(duì)值為=
分析：（1）求三棱錐S-ABC的體積，由題設(shè)條件得，棱錐的高是SA，底面是直角三角形，體積易求；
（2）證明BC⊥SC可通過(guò)證明BC⊥面ASC來(lái)證；
（3）分別取AB、SA、BC的中點(diǎn)D、E、F，連接ED、DF、EF、AF，可得∠EDF（或其鄰補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)SB和AC所成的角
點(diǎn)評(píng)：本題考查求異面直線(xiàn)所成的角，求解本問(wèn)題的關(guān)鍵是注意到所得出的角不一定就兩異面直線(xiàn)的夾角有可能是夾角的補(bǔ)角．