Question

如圖，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB＝FB＝2DE．

(Ⅰ)求證：平面AEC⊥平面AFC；

(Ⅱ)求直線EC與平面BCF所成的角；

(Ⅲ)問在EF上是否存在一點M，使三棱錐M－ACF是正三棱錐？

若存在，試確定M點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)連結BD，AC，設他們交于點O，連結EO，FO，

　　∵ABCD是正方形，∴OD⊥AC．

　　又∵ED⊥平面ABCD，且OD為ED在平面ABCD內的射影

　　∴EO⊥AC．同理FO⊥AC，

　　∴∠EOF就是二面角E－AC－F的平面角．

　　設DE＝，∵AB＝BF＝2DE，

　　∴OE＝，OF＝，EF＝．

　　∴EO²＋FO²＝EF²，即，∴平面AEC⊥平面AFC．

　　[另法提示：建立空間直角坐標系，證]

　　(Ⅱ)過點C作CP⊥平面AC，且使CP＝DE，連結EP，則四邊形CDEP是矩形，且CP在平面FBC內，∵DC平面FBC，EP∥DC，∴EP⊥平面FBC，

　　∴∠ECP就是EC與平面FBC所成的角，

　　在Rt△ECP中，EP＝2a，CP＝a，∴tan∠ECP＝2，

　　∴EC與平面FBC所成的角為arctan2．

　　[另法提示：一、轉化為求EC與平面ADE所成的角；二、利用空間向量求解，先求與平面BCF的法向量的夾角，然后求其余角]

　　(Ⅲ)由題意可知△ACF是等邊三角形，設點N是△ACF的中心，

　　則點N一定在OF上，且｜FN｜＝2｜NO｜，

　　在平面EOF內，作OF，且與EF交于M點．

　　∵AC⊥OE，AC⊥OF，∴平面，又平面ACF．

　　∴平面ACF⊥平面，又OF，∴平面ACF．∴三棱錐M－ACF是正三棱錐．

　　在平面中，由．

　　可知MN∥EO，又｜FN｜＝2｜NO｜，∴｜FM｜＝2｜ME｜．

　　在EF上存在一點M，使三棱錐M－ACF是正三棱錐，且點M是線段EF的靠近E的三等分點

　　[另法提示：本大題可將所給幾何體補成正方體來進行求解]