Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ．

（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.（Ⅰ）先對(duì)求導(dǎo)，令解出，將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，所以由表格知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值；（Ⅱ）利用第一問的表，知為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點(diǎn)，只需最小值，從而解出，下面再分情況分析函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）由，（）得

.

由解得.

與在區(qū)間上的情況如下：

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

在處取得極小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.

因?yàn)?/span>存在零點(diǎn)，所以，從而.

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，

所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，

所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).