Question

（2005•海淀區(qū)二模）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，且2sin²

A+B

2

+cos2C=1
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a²=b²+

1

2

c2，試求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C；
（2）利用正弦定理列出關(guān)系式，將sinC的值代入求出-2sin(A+B)•sin(A-B)=-

3

4

，再由C的值，利用三角形面積公式即可求出sin(A-B)=

3

4

．

解答：解：（I）由2sin2

A+B

2

+cos2C=1
得1-cos（A+B）+2cos²C-1=1，…（2分）
又由A+B+C=π，將上式整理得2cos²C+cosC-1=0…（4分）
即（2cosC-1）（cosC+1）=0
∴cosC=

1

2

或cosC=-1(舍去)…（6分）
由0＜C＜π，得C=

π

3

…（7分）
（II）（理科）設(shè)△ABC外接圓半徑為R，
據(jù)正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R由a2=b2+

1

2

c2有2sin²A-2sin²B=sin²C…（9分）
即1-cos2A-1+cos2B=

3

4

cos2A-cos2B=-

3

4

…（11分）
∴-2sin(A+B)•sin(A-B)=-

3

4

…（12分）
又A+B=

2π

3

∴(-2)•

3

2

•sin(A-B)=-

3

4

∴sin(A-B)=

3

4

…（14分）

點評：此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握相關(guān)公式是解本題的關(guān)鍵．