Question

. (江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測(cè)試四) 已知以向量v=(1, )為方向向量的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0, )，拋物線(xiàn)C：(p>0)的頂點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在該拋物線(xiàn)上．

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；

（Ⅱ）設(shè)A、B是拋物線(xiàn)C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作平行于x軸的直線(xiàn)m，直線(xiàn)OB與直線(xiàn)m交于點(diǎn)N，若(O為原點(diǎn)，A、B異于原點(diǎn))，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

，點(diǎn)N的軌跡方程為．

解析:

解 （Ⅰ）由題意可得直線(xiàn)l：     ①

過(guò)原點(diǎn)垂直于l的直線(xiàn)方程為         ②

解①②得．

∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上．

∴，

∴拋物線(xiàn)C的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，，，

由，得．

又，．

解得                         ③

直線(xiàn)ON：，即      ④

由③、④及得，

點(diǎn)N的軌跡方程為．