Question

15．已知一個動點P在圓x²+y²=36上移動，它與定點Q（4，0）所連線段的中點為M．
（1）求點M的軌跡方程．
（2）過定點（0，-3）的直線l與點M的軌跡交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且滿足$\frac{x_1}{x_2}$+$\frac{x_2}{x_1}$=$\frac{21}{2}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求點M的軌跡方程．
（2）當直線L的斜率不存在時，直線L：x=0，滿足條件，當直線L的斜率存在時，設(shè)直線L：y=kx-3，聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達定理，可求出滿足條件的k值，進而得到直線L的方程，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），動點P（x₁，y₁），
由中點的坐標公式解得x₁=2x-4，y₁=2y，
由x₁²+y₁²=36，得（2x-4）²+（2y）²=36，
∴點M的軌跡方程是（x-2）²+y²=9…（4分）
（2）當直線L的斜率不存在時，直線L：x=0，與圓M交于$A（0，\sqrt{5}），B（0，-\sqrt{5}）$，
此時x₁=x₂=0，不合題意．…（6分）
當直線L的斜率存在時，設(shè)直線L：y=kx-3，則$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{{{（x-2）}^2}+{y^2}=9}\end{array}}\right.$，
消去y，得（1+k²）x²-（4+6k）x+4=0，${x_1}+{x_2}=\frac{4+6k}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{4}{{1+{k^2}}}$
由已知${x_1}^2+{x_2}^2=\frac{21}{2}{x_1}{x_2}⇒7{k^2}-24k+17=0⇒k=1，k=\frac{17}{7}$，經(jīng)檢驗△＞0．
綜上：直線L為：x-y-3=0，17x-7y-21=0．…（12分）

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，圓的標準方程，是直線與圓的綜合應用，難度中檔．