Question

16．設定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=5+cosx，且f（0）=0，則不等式f（x-1）+f（1-x²）＜0的解集為（　　）

• A． {x|1$＜x＜\sqrt{2}$}
• B． {x|x＞1或x＜-1}
• C． {x|-1＜x＜1}
• D． {x|0＜x＜1}

Answer 1

分析 由題意函數(shù)的導函數(shù)f′（x）=5+cosx，恒正，故函數(shù)是增函數(shù)，再由函數(shù)是奇函數(shù)將不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0轉化為f （x-1）＜f （x²-1），由單調(diào)性及定義轉化為不等式組解之即可．

解答 解：∵函數(shù)的導函數(shù)f′（x）=5+cosx，恒正，
∴函數(shù)是增函數(shù)，
∵y=f（x）的導函數(shù)為f′（x）=5+cosx，
∴f（x）=5x+sinx+c，
∵f（0）=0，
∴f（0）=0+0+c=0，
解得c=0，
∴f（x）=5x+sinx，
∵f（-x）=-5x-sinx=-（5x+sinx）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
則不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0轉化為f （x-1）＜f （x²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1{＜x}^{2}-1＜1}\\{{x}^{2}-1＞x-1}\end{array}\right.$，解得x∈（1，$\sqrt{2}$）
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系以及抽象不等式的解法，求解本題的關鍵是根據(jù)導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性以及利用奇函數(shù)的性質(zhì)與單調(diào)性將不等式轉化為不等式組，本題求解時易因為忘記定義域的限制導致解題失敗，解題時不要忘記驗證函數(shù)有意義的范圍即函數(shù)的定義域．