Question

已知拋物線x²=4y的焦點為F，準線與y軸的交點為M，N為拋物線上的一點，且滿足|NF|=λ|MN|，則λ的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得F（0，1），M（0，-1），過點N作NH垂直于準線y=-1，垂足為H，由條件可得λ==，當點N與原點O重合時，|NH|=|MN|，λ有最大值為1；當直線MN和拋物線相切時，λ==sinθ 有最小值．求出切線的斜率，可得sinθ的值，即為λ 的最小值．
解答：解：由題意可得F（0，1），M（0，-1），過點N作NH垂直于準線y=-1，垂足為H，
由拋物線的定義可得|NF|=|NH|．
由條件可得λ==，如圖所示：
故當點N與原點O重合時，|NH|=|MN|，λ有最大值為1．
當直線MN和拋物線相切時，λ==sinθ 有最小值，這里 θ=∠NMF．
設當直線MN和拋物線相切時，MN的方程為 y+1=kx，代入拋物線方程化簡可得x²-4kx+4=0．
由題意可得，此方程的判別式△=0，即 16k²-16=0，∴k=±1，即 tanθ=1，
故sinθ=，故λ 的最小值為．
綜上可得 λ∈[，1]，
故答案為[，1]．
點評：本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，屬于中檔題．