Question

平面EFGH分別平行空間四邊形ABCD中的CD與AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H．CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證EFGH為矩形；
（2）點(diǎn)E在什么位置，S_EFGH最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，得AB∥GH且AB∥EF，所以GH∥EF，同理可得EH∥FG，因此得到四邊形EFGH是平行四邊形．再根據(jù)CD⊥AB和AB∥EF、EH∥CD，得EF⊥EH，所以四邊形EFGH為矩形．
（2）AG=x，AC=m，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得GF=（m-x），GH=x，從而得到S_EFGH=（mx-x²），結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得當(dāng)x=時(shí)，S_EFGH的最大值為．
解答：解：（1）∵AB∥平面EFGH，AB?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=GH，
∴AB∥GH，同理可得AB∥EF，
∴EF∥GH，同理可得EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∵AB⊥CD，EH∥CD，∴AB⊥EH
又∵AB∥EF，∴EF⊥EH，
∴四邊形EFGH為矩形．
（2）AG=x，AC=m，則=，得GH=x
=，GF=（m-x）
S_EFGH=GH•GF=x•（m-x）
=（mx-x²）=（-x²+mx-+）
=[-（x-）²+]
當(dāng)x=時(shí)，S_EFGH最大=•=．
點(diǎn)評：本題給出平行于四面體相對棱的截面，判定截面的形狀并且求截面面積的最大值，著重考查了線面平行性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理和二次函數(shù)的最值等知識，屬于基礎(chǔ)題．