精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
O是平面上一點，A，B，C是平面上不共線三點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，(λ∈[0，
1
2
])，當λ=
1
2
時，|
AP
|=2，求
PA
•(
PB
+
PC
）的最小值
 
．
分析：設BC的中點為D，由題意可得AD=2，且點P在線段AD上，從而得到
PA
•(
PB
+
PC
)=
PA
•2
PD
=2x（2-x）cos180°=2（x-1）2-2，利用二次函數的性質得到其最小值．
解答：解：∵
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，(λ∈[0，
1
2
])，設BC的中點為D，∴
AP
=λ（
AB
+ 
AC
 ）=λ
AD
，
且點P在線段AD上，當λ=
1
2
時，|
AP
|=2=|
AD
|，即 P和D重合時，AD=2．
 
PA
•(
PB
+
PC
 ）=
PA
•2
PD
，設PA=x，則PD=2-x，x∈[0，2]，
∴
PA
•2
PD
=2x（2-x）cos180°=2（x-1）2-2≥-2，故
PA
•(
PB
+
PC
)的最小值等于-2，
故答案為-2．
點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，得到
PA
•(
PB
+
PC
)=
PA
•2
PD
=2x（2-x）cos180°，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

O是平面α上一點，A、B、C是平面α上不共線三點，平面α內的動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，若λ=
1
2
時，
PA
•(
PB
+
PC
)的值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

O是平面上一點，A，B，C是該平面上不共線的三個點，一動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

O是平面上一點，A、B、C是平面上不共線三點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ（
AB
+
AC
），λ=
1
2
時，則
PA
•（
PB
+
PC
）的值為
0
0
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

O是平面上一點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ[],λ∈[0，+∞]則P的軌跡一定通過△ABC的（    ）

A．外心       B．內心    C．重心       D．垂心

查看答案和解析>>

同步練習冊答案