Question

20．已知銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，則cosB的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 設銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C所對邊長分別為b-d，b，b+d（不妨設d＞0），利用$\left\{\begin{array}{l}{b-d+b＞b+d}\\{（b-d）^{2}+^{2}＞（b+d）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\fracqlpkjo1$＞4，結合余弦定理，即可得出結論．

解答 解：設銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C所對邊長分別為b-d，b，b+d（不妨設d＞0）．
所以$\left\{\begin{array}{l}{b-d+b＞b+d}\\{（b-d）^{2}+^{2}＞（b+d）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac4mcxcm0$＞4，
由余弦定理得，cosB=$\frac{（b-d）^{2}+（b+d）^{2}-^{2}}{2（b-d）（b+d）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{^{2}+2ggaffjo^{2}}{^{2}-4s83w45^{2}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{t+2}{t-1}$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{t-1}$），
其中t=$（\fracdjtsg9g）^{2}$∈（16，+∞），
所以t-1∈（15，+∞），
∴0＜$\frac{3}{t-1}$＜$\frac{1}{5}$
所以cosB∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$）．
a，b，c相等，cosB=$\frac{1}{2}$
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$）．

點評 本題考查余弦定理的運用，同時考查等差數(shù)列的性質，考查運算能力，屬于中檔題．