Question

4．已知矩形ABCD中，AB=4$\sqrt{3}$，BC=4，M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且MN=2，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的最小值是（　�。�

• A． 12
• B． 24
• C． 36
• D． 48

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，結(jié)合MN=2，得$（c-4\sqrt{3}）^{2}+（b-4）^{2}=4$，令c=$4\sqrt{3}+2cosα$，b=4+2sinα，把$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$轉(zhuǎn)化為含有α的三角函數(shù)求得最值．

解答 解：如圖，分別以AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（$4\sqrt{3}$，0），D（0，4），C（$4\sqrt{3}，4$），
設(shè)M（$4\sqrt{3}，b$），N（c，4），
則$\overrightarrow{MN}=（c-4\sqrt{3}，4-b）$，
由MN=2，得$（c-4\sqrt{3}）^{2}+（b-4）^{2}=4$，
令c=$4\sqrt{3}+2cosα$，b=4+2sinα，
則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=$4\sqrt{3}c+4b=48+8\sqrt{3}cosα+16+8sinα$
=$64+16sin（α+\frac{π}{3}）$．
∴當(dāng)sin（$α+\frac{π}{3}$）取最小值-1時(shí)，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$有最小值是48．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了三角函數(shù)最值的求法，是中檔題．