Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且滿足f（1-x）=f（1+x）（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）已知當(dāng)x∈（-1，1]時，f（x）=1-

1-x2

，求使方程f（x）=ax在x∈（-1，1]上有兩個不相等實(shí)根a的取值集合M；
（3）記I_k=（2k-1，2k+1]（k∈N，k≥1），M_k表示使方程f（x）=ax在x∈I_k上有兩個不相等實(shí)根的a的取值集合，求集合M_k．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：探究型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用條件可得到函數(shù)的周期性定義的定義式，得出本題證明；
（2）利用對應(yīng)函數(shù)的圖象間有兩個交點(diǎn)，可得到本題的解；
（3）利用相應(yīng)函數(shù)圖象在指定區(qū)間上有兩個交點(diǎn)，可得本題的解．

解答： 解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴f（x+2）=f（-x）=f（x），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈（-1，1]時，
f(x)=1-

1-x2

，
即y=1-

1-x2

．
可化為：x²+（y-1）²=1且y≤1，
平面直角坐標(biāo)系中表示以（0，1）為圓心，半徑為1的半圓．
方程f（x）=ax在x∈（-1，1]上有兩個不相等實(shí)根即為直線y=ax與該半圓有兩交點(diǎn)
記A（-1，1），B（1，1），得直線OA、OB斜率分別為-1，1．
由圖形可知直線y=ax的斜率滿足-1＜a≤1且a≠0時與該半圓有兩交點(diǎn)
故所求a的取值集合為M₀=（-1，0）∪（0，1]．
（3）函數(shù)f（x）的周期為2，
∴f（x-2k）=f（x）（k∈Z），
當(dāng)x∈I_k時，（x-2k）∈（-1，1]，
∴f(x)=f(x-2k)=1-

1-(x-2k)2

，
∴f（x）的解析式為：f(x)=1-

1-(x-2k)2

，x∈I_k．
即y=1-

1-(x-2k)2

．
可化為：（x-2k）²+（y-1）²=1且y≤1．
平面直角坐標(biāo)系中表示以（2k，1）為圓心，半徑為1的半圓．
方程f（x）=ax在x∈I_k上有兩個不相等實(shí)根即為直線y=ax與該半圓有兩交點(diǎn)．
記A_k（2k+1，1），得直線OA_k的斜率為

1

2k+1

．
由圖形可知直線y=ax的斜率滿足0＜a≤

1

2k+1

時與該半圓有兩交點(diǎn)．
故所求a的取值集合為 Mk={a|0＜a≤

1

2k+1

}．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)周期性的定義、圖象法研究根的個數(shù)，本題思維量大，運(yùn)算量也較大，屬于難題．