Question

記實(shí)數(shù)x₁，x₂，…，x_n中的最大數(shù)為max{x₁，x₂，…，x_n}，最小數(shù)為min{x₁，x₂，…，x_n}．設(shè)△ABC的三邊邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a≤b≤c，定義△ABC的傾斜度為，．
（�。┤簟鰽BC為等腰三角形，則t=________；
（ⅱ）設(shè)a=1，則t的取值范圍是________．

Answer 1

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分析：（i）分三種a=b=c、a=b＜c和a＜b=c三種情況加以討論，分別求出max{}和min{}的值，即可算出總有實(shí)數(shù)t=1成立，得到本題答案；
（ii）根據(jù)題意，可得max{}=c且min{}=，因此對(duì)c＜b²和c≥b²兩種情況加以討論，利用三角形兩邊之和大于第三邊和不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，聯(lián)解不等式組可得t的取值范圍是[1，）．
解答：（i）若a=b=c，則max{}=min{}=1
∴t=max{}•min{}=1；
若a=b＜c，則max{}=，min{}=
∴t=max{}•min{}=•==1；
若a＜b=c，則max{}=，min{}=
∴t=max{}•min{}=•==1
綜上所述，可得若△ABC為等腰三角形，則t=1；
（ii）∵a=1，a≤b≤c，
∴max{}=max{，，c}=c
而min{}=min{，，c}=
①當(dāng)c＜b²時(shí)，t=c•=，可得c=tb，（t≥1）
∵由1+b＞c，得1+b＞tb，∴t≠1時(shí)，b＜
∵c=tb＜b²，∴t＜b，可得t＜，解之得1＜t＜
而t=1時(shí)，b=c＞a=1，符合題意．所以此時(shí)t的范圍為[1，）
②當(dāng)c≥b²時(shí)，t=c•=b，可得
∵1+b＞c且c≥b²，
∴1+b＞b²，解之得1≤b＜
即1≤t＜，得此時(shí)t的范圍為[1，）
綜上所述，可得當(dāng)a=1時(shí)，t的取值范圍是[1，）．
故答案為：1，[1，）
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形三邊中任意兩邊的比值，求它們的最大值與最小值之積的取值范圍，著重考查了函數(shù)最值的意義、三角形兩邊之和大于第三邊、不等式的基本性質(zhì)和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．