Question

3．已橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），且橢圓上的點到焦點距離的最大值為2+$\sqrt{3}$，最小值為2-$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l與橢圓T相交于P，Q兩不同點，直線l方程為y=kx+$\sqrt{3}$（k＞0），O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓上的點到焦點距離的最大值為2+$\sqrt{3}$，最小值為2-$\sqrt{3}$，由此可求a，c然后求解b，即可得到橢圓T的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出|PQ|，求出原點到直線l的距離，表示出三角形的面積，進而利用基本不等式，即可求得△OPQ面積的最大值．

解答 解：（1）由題意：橢圓上的點到焦點距離的最大值為2+$\sqrt{3}$，最小值為2-$\sqrt{3}$，
則：a+c=2+$\sqrt{3}$，a-c=2-$\sqrt{3}$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
故所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$kx+8=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{-8\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$，
△=（8$\sqrt{3}$k）²-32（1+4k²）＞0，即：2k²-1＞0，
又原點到直線l的距離為d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-1}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$
=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-1}{4（2{k}^{2}-1）^{2}+12（2{k}^{2}-1）+9}}$
=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{1}{4（2{k}^{2}-1）+\frac{9}{2{k}^{2}-1}+12}}$
≤$2\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{24}}$=1當且僅當k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時取等號，
則△OPQ面積的最大值為1．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，正確表示三角形的面積是關鍵．