Question

【題目】已知函數，．

當時，，求實數a的取值范圍；

當時，曲線和曲線是否存在公共切線？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在公共切線，理由詳見解析.

【解析】

(1)構造函數，求出其最大值，解不等式即可得到實數的取值范圍；

(2)假設存在這樣的直線且直線與曲線和曲線分別相切與點.分別求出兩條切線方程，根據斜率與縱截距建立方程組，減元后得到，構造新函數研究單調性與極值即可.

解：令，則.

若，則，若，則.

所以在上是增函數，在上是減函數.

所以是的極大值點，也是的最大值點，即.

若恒成立，則只需，解得.

所以實數的取值范圍是.

假設存在這樣的直線且與曲線和曲線分別相切與點.

由，得.

曲線在點處的切線方程為，即.

同理可得，

曲線在點處的切線方程為，即.

所以則，即

構造函數

存在直線與曲線和曲線相切,

等價于函數在上有零點

對于.

當時，，在上單調遞增.

當時，因為，所以在上是減函數.

又，，所以存在，使得，即.

且當，時，當時，.

綜上，在上是增函數，在上是減函數.

所以是的極大值，也是最大值，且.

又，，所以在內和內各有一個零點.

故假設成立，即曲線和曲線存在公共切線.