Question

設(shè)函數(shù)對(duì)于任意都有且時(shí)

。

（1）求； （2）證明：是奇函數(shù)；

（3）試問(wèn)在時(shí)是否有最大、最小值？如果有，請(qǐng)求出來(lái)，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）0，（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析，（3）。

【解析】

試題分析：解決抽象函數(shù)問(wèn)題常用的一種方法是賦值法，（1）令x=y=0，可求得值，（2）令x=-y，

再結(jié)合奇函數(shù)的定義知是奇函數(shù)，（3）根據(jù)減函數(shù)的定義，在結(jié)合奇函數(shù)的定義可證明數(shù)單調(diào)遞減，故在有最大值和最小值，再由賦值法去求的值。

試題解析：（1）令x=y=0，。 3分

（2）令x=-y，即得，又，

則，所以是奇函數(shù)。 7分

（3）在R上任取，則，

則，

即，所以函數(shù)單調(diào)遞減，

從而在有最大值和最小值，

12分。

考點(diǎn)：（1）賦值法，（2）減函數(shù)的定義，（3）奇函數(shù)的定義。