Question

2．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0、|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一部分如圖所示．
（1）求函數f（x）在[0，π]上的單凋遞增區(qū)間：
（2）已知g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（0＜x＜π）}\\{\frac{1}{2}（x=π）}\\{0（π＜x＜2π）}\end{array}\right.$，求函數y=f（x）與y=g（x）圖象的所有交點坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2，求出φ，即可得到函數的解析式，進而可求其單調遞增區(qū)間．
（2）令f（x）=g（x），分類討論，利用正弦函數的圖象和性質即可解得交點的坐標．

解答 解：（1）由題意可知A=2，T=4×（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，
因為：當x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2，
所以：2=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ），可得：2×$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
因為：|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以：φ=$\frac{π}{6}$，
所以：函數f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
所以：函數f（x）的單調遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
因為：x∈[0，π]，
所以：函數f（x）在[0，π]上的單調遞增區(qū)間為：[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]．
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（0＜x＜π）}\\{\frac{1}{2}（x=π）}\\{0（π＜x＜2π）}\end{array}\right.$，
∴分類討論：
①當0＜x＜π時，由2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，解得：2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，從而解得其交點坐標為：（$\frac{π}{3}$，1）．
②當x=π時，f（π）=2sin（2π+$\frac{π}{6}$）=1，g（π）=$\frac{1}{2}$，無交點．
③當π＜x＜2π時，由2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=0，可得：2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
由于π＜x＜2π，可得2個交點的坐標分別為：（$\frac{17π}{12}$，0），（$\frac{23π}{12}$，0）．

點評 本題給出函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要我們確定其解析式并求函數圖象與g（x）的交點坐標，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識點，注意函數的周期的求法，考查計算能力，�？碱}型，屬于中檔題．