分析 (I)由向量數(shù)量積的公式、三角恒等變換公式化簡解析式,代入方程f(x)=0化簡后,可得t=2sin(2x+π6)+1在x∈[0,π2]上有解,利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),求出t的取值范圍;
(II)由(I)求出f(A),結(jié)合A為三角形的內(nèi)角求出A,根據(jù)余弦定理求出a2,結(jié)合b+c=2化簡后,利用二次函數(shù)的性質(zhì),求出邊a的最小值.
解答 解:(Ⅰ)由題意得,→m=(2sinx,1),→n=(√3cosx,2cos2x),
∴f(x)=→m•→n-t=2√3sinxcosx+2cos2x=√3sin2x+cos2x+1-t
=2sin(2x+π6)+1-t,
∵方程f(x)=0在x∈[0,π2]上有解,
∴t=2sin(2x+π6)+1在x∈[0,π2]上有解,
由x∈[0,π2]得,2x+π6∈[π6,7π6],
可得sin(2x+π6)∈[-12,1],
∴當(dāng)x∈[0,π2]時(shí),t=2sin(2x+π6)+1∈[0,3],
綜上,方程f(x)=0在x∈[0,π2]上有解,t的取值范圍為[0,3];
(Ⅱ)由(I)得,t=3時(shí),f(A)=2sin(2A+π6)-2=-1,
化簡得,sin(2A+π6)=12,
又A∈(0,π),則A=π3,
在△ABC中,由余弦定理得,
a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccosπ3=b2+c2-bc,
由b+c=2得,c=2-b,
∴a2=b2+(2-b)2-b(2-b)=3b2-6b+4=3(b-1)2+1,
∴當(dāng)b=1時(shí),即b=c=1時(shí),邊a的最小值為1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換公式,余弦定理,及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì),考查方程有解問題的轉(zhuǎn)化,化簡、變形能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | √22 | B. | √2 | C. | 12 | D. | √232 |
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A. | 相交 | B. | 平行 | C. | 垂直 | D. | 不能確定 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | √22 | C. | 1 | D. | √2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,12] | B. | (0,1) | C. | [12,3) | D. | (0,3) |
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A. | p∧q | B. | (¬p)∧(¬q) | C. | (¬p)∧q | D. | p∧(¬q) |
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