Question

已知二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和，且最小值是，函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

（1）求和的解析式；

（2）若在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1），；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和，故可將二次函數(shù)的解析式設(shè)為，再由，可得，即，從而，再由函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知；（2）由（1）得，這是一個(gè)關(guān)于的一次函數(shù)或者是一個(gè)二次函數(shù)，因此考慮對(duì)的取值分以下三種情況分類討論：

①當(dāng)時(shí)，滿足在區(qū)間上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸是，則，又∵，解得；

③當(dāng)時(shí)，同理則需，又∵，解得，故滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：（1）依題意，設(shè)，圖象的對(duì)稱軸是，

∴，即，得，∴，

由函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴；

（2）由（1）得，

①當(dāng)時(shí)，滿足在區(qū)間上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸是，則，又∵，解得；

③當(dāng)時(shí)，同理則需，又∵，解得，

綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)求解析式；2.二次函數(shù)的單調(diào)性.