Question

3．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，若2x+y＞m恒成立，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． （8，+∞）
• B． [8，+∞）
• C． （-∞，8）
• D． （-∞，8]

Answer 1

分析 先把2x+y轉化為（2x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）展開后利用基本不等式求得其最小值，然后根據2x+y＞m恒成立，求得m＜8即可．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，
∴（2x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）=4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥4+2 $\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=8，當且僅當x=2，y=4時取等號，
∵2x+y＞m恒成立，
∴m＜8，
故選：C．

點評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．考查了學生分析問題和解決問題的能力．