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3.已知x>0,y>0,且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1,若2x+y>m恒成立,則實數m的取值范圍是( 。
A.(8,+∞)B.[8,+∞)C.(-∞,8)D.(-∞,8]

分析 先把2x+y轉化為(2x+y)($\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$)展開后利用基本不等式求得其最小值,然后根據2x+y>m恒成立,求得m<8即可.

解答 解:∵x>0,y>0,且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1,
∴(2x+y)($\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$)=4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥4+2 $\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=8,當且僅當x=2,y=4時取等號,
∵2x+y>m恒成立,
∴m<8,
故選:C.

點評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用.考查了學生分析問題和解決問題的能力.

練習冊系列答案
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