分析 (1)由題意可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=a2(a>0),設(shè)C的一個焦點(c,0)與點A(1,√2−1)關(guān)于直線y=x-1對稱,由垂直和平分的條件,解方程可得c,進(jìn)而得到a,可得雙曲線的方程;
(2)假設(shè)存在直線y=kx+b與雙曲線C交于P、Q兩點,使得PQ恰被點(23,1)平分.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),代入雙曲線的方程,作差,運用中點坐標(biāo)公式和斜率公式,可得k,由點斜式方程可得直線PQ,聯(lián)立雙曲線的方程,計算判別式,即可判斷存在性.
解答 解:(1)焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線相互垂直,
可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=a2(a>0),
設(shè)C的一個焦點(c,0)與點A(1,√2−1)關(guān)于直線y=x-1對稱,
可得{√2−11−c=−1√2−12=c+12−1,
解得c=√2,
由c=√2a,可得a=1.
則雙曲線C的方程為x2-y2=1;
(2)假設(shè)存在直線y=kx+b與雙曲線C交于P、Q兩點,
使得PQ恰被點(23,1)平分.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x12-y12=1,x22-y22=1,
兩式相減可得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),
由x1+x2=43,y1+y2=2,
k=y1−y2x1−x2=x1+x2y1+y2=23,
則直線PQ的方程為y-1=23(x-23),
即為y=23x+59,
聯(lián)立雙曲線的方程x2-y2=1,
可得59x2-2027x-10681=0,
顯然判別式大于0,成立.
則存在直線y=23x+59與雙曲線相交于P,Q,
使得PQ恰被點(23,1)平分.
點評 本題考查雙曲線的方程的求法,注意運用待定系數(shù)法和點關(guān)于直線對稱的條件,同時考查點差法求直線方程的方法,注意運用檢驗存在性,屬于中檔題.
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A. | 有最小值無最大值 | B. | 有最大值無最小值 | ||
C. | 既有最大值又有最小值 | D. | 最大值和最小值皆不存在 |
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A. | y2=4x | B. | x2=4y | C. | y2=8x | D. | x2=8y |
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