Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)為

3

，側(cè)棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BB₁，DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面AEF；
（Ⅱ）求二面角A-EF-B的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面AEF的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用AC₁在平面A₁B上的射影為A₁B以及A₁B⊥AE得到A₁C⊥AE；同理A₁C⊥AF即可證：A₁C⊥平面AEF；
（Ⅱ）先由Rt△A₁AB∽R(shí)t△ABE，得到EB=1，AE=

3-1

=

2

；同理DF=1，AF=

2

；進(jìn)而得DBEF是矩形，可知OG⊥EF，∠OGA是二面角A-EF-B的平面角，求出tan∠OGA即可；
（Ⅲ）利用V_B1-AEF=V_F-AEB1=V_D-AEB1，得到h=

DA•S△AEB1

S△AEF

，通過求三角形的面積即可求出點(diǎn)B到平面AEF的距離．

解答：解：（Ⅰ）∵CB⊥平面A₁B，
∴AC₁在平面A₁B上的射影為A₁B．
又A₁B⊥AE，AE⊆平面A₁B，
∴A₁C⊥AE．
同理A₁C⊥AF，
∴A₁C⊥平面AEF．
（Ⅱ）∵A₁B⊥AE，AA₁⊥AB，
∴∠BA₁A=∠EAB，
∴Rt△A₁AB∽R(shí)t△ABE，
∴

EB

AB

=

AB

A1A

，EB=1，AE=

3-1

=

2

．
同理DF=1，AF=

2

．取EF和DB的中點(diǎn)G、O，連接AG、GO，
由AE=AF，得AG⊥EF，
由EB=FD，得DBEF是矩形，可知OG⊥EF．
∴∠OGA是二面角A-EF-B的平面角．
且tan∠OGA=

AO

OG

．
由AO=

6

2

，OG=1，
∴tanα=

6

2

．
∴α=arctan

6

2

．
即二面角A-EF-B的大小為arctan

6

2

．　　
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)B到平面AEF的距離是h．
由V_B1-AEF=V_F-AEB1=V_D-AEB1，得

1

3

h•S_△AEF=

1

3

DA•S_△AEB1，
∴h=

DA•S△AEB1

S△AEF

．
由AG=

OG2+OA2

=

1+ 3 2

=

10

2

，EF=DB=

6

，
_△AEF=

1

2

•EF•AG=

15

2

，
DA=

3

，S_△AEB1=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴h=

3

15 2

=

2 15

5

．
即點(diǎn)B到平面AEF的距離是

2 15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到二面角的平面角及求法以及點(diǎn)到面的距離和線面垂直．一般在證明線面垂直時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．